Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）若恒成立，求实数的值；

（3）设有两个极值点，求实数的取值范围，并证明.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）1；（2），证明见解析.

【解析】

（1）先求的定义域，然后对求导，令寻找极值点，从而求出极值与最值；

（2）构造函数，又，则只需恒成立，再证在处取到最小值即可；（3）

有两个极值点等价于方程在上有两个不等的正根，由此可得的取值范围，，由根与系数可知及范围为，代入上式得，利用导函数求的最小值即可.

（1），

，

令G′(x)>0,解得x>1,此时函数G(x)单调递增，

令G′(x)<0,解得0<x<1,此时函数G(x)单调递减，

又G′(1)=0,∴x=1是函数G(x)的极小值点,也是最小值，且G(1)=0.

当时，的最小值为0.

（2）令，则.

所以即恒成立的必要条件是，

又，由得：.

当时，，知，

故，即恒成立.

（3）由，得.

有两个极值点、等价于方程在上有两个不等的正根，即：

，解得.

由，得，其中.

所以.

设，得，

所以，即.