【题目】已知函数
，其中
为自然对数的底数.
（1）求函数
的单调区间和最值；
（2）当
时，不等式
恒成立，求
的取值范围.
【答案】（1）在
单调递减，在
单调递增，最小值
，无最大值；（2）
【解析】
（1）对函数
求导，令
及求出
时
的取值范围，可得的单调区间，及的最值；
（2）设
，即证
时，
恒成立，对
求导，分
与
进行讨论，可得
的取值范围.
解：（1）由题可知，的定义域为
，
，
∴在单调递减，在单调递增.
∴在
时取得最小值，无最大值.
（2）设
，即证时，恒成立.
【法一】
①时，
恒成立，故在上单调递增，∴
恒成立，符合题意.
②时，
恒成立，故
在上单调递增，有
.
ⅰ.
即
时，此时
恒成立，故在上单调递增，∴恒成立，符合题意.
ⅱ.
即
时，
，使得
，此时在
单调递减，
单调递增.
∴
，不满足题意，舍去.
综上所述，.
【法二】
由
，发现
，故时，恒成立的必要条件是.
而，
，即
①时，
恒成立，故在上单调递增，∴恒成立，符合题意.
②时，在
时，
，
，知
.
故在上单调递增，恒成立，符合题意.
综上所述，.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
：
的长轴长是短轴长的
倍，点
在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆的左焦点的直线
与椭圆相交所得弦长为，求直线的斜率；
（3）过点
的任意直线与椭圆交于
、
两点，设点、到直线
：
的距离分别为
.若
，求
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】现代研究表明，体脂率
（体脂百分数）是衡量人体体重与健康程度的一个标准．为分析体脂率对人体总胆固醇
的影响，从女性志愿者中随机抽取12名志愿者测定其体脂率值及总胆固醇指标值（单位：mmol/L），得到的数据如表所示：
(1)利用表中的数据，是否可用线性回归模型拟合
与
的关系？请用相关系数
加以说明.（若
，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)求出与的线性回归方程，并预测总胆固醇指标值为9.5时，对应的体脂率值为多少？（上述数据均要精确到0.1）
(3)医学研究表明，人体总胆固醇指标值服从正态分布
，若人体总胆固醇指标值在区间
之外，说明人体总胆固醇异常，该志愿者需作进一步医学观察.现用样本的
作为
的估计值，用样本的标准差
作为
的估计值，从这12名女志愿者中随机抽4人，记需作进一步医学观察的人数为
，求的分布列和数学期望．
附：参考公式：相关系数
，
，
．
参考数据：
，
，
，
，
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表：
学时数 |
|
|
|
|
|
|
|
男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；
（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．
（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下
列联表，并判断是否有99．9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？
非十分爱好该课程者 | 十分爱好该课程者 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 | 100 |
附：
，
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某高校共有10000人，其中男生7500人，女生2500人，为调查该校学生每则平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集200位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.调查部分结果如下
列联表：
男生 | 女生 | 总计 | |
每周平均体育运动时间不超过4小时 | 35 | ||
每周平均体育运动时间超过4小时 | 30 | ||
总计 | 200 |
（1）完成上述每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有
把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”；
（2）已知在被调查的男生中，有5名数学系的学生，其中有2名学生每周平均体育运动时间超过4小时，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰有1人“每周平均体育运动时间超过4小时”的概率.
附：
，其中
.
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
，曲线
在点
处的切线与直线
垂直（其中
为自然对数的底数）．
（1）求
的解析式及单调递减区间；
（2）是否存在常数
，使得对于定义域内的任意
， 
恒成立，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知抛物线C：x2=2py经过点（2，1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
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