练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

    （1）求函数的单调区间和最值；

    （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.

    【答案】（1）在单调递减，在单调递增，最小值，无最大值；（2）

    【解析】

    （1）对函数求导，令及求出时的取值范围，可得的单调区间，及的最值；

    （2）设，即证时，恒成立，对求导，分与进行讨论，可得的取值范围.

    解：（1）由题可知，的定义域为，，

    ∴在单调递减，在单调递增.

    ∴在时取得最小值，无最大值.

    （2）设，即证时，恒成立.

    【法一】

    ①时，恒成立，故在上单调递增，∴恒成立，符合题意.

    ②时，恒成立，故在上单调递增，有.

    ⅰ.即时，此时恒成立，故在上单调递增，∴恒成立，符合题意.

    ⅱ.即时，，使得，此时在单调递减，单调递增.

    ∴，不满足题意，舍去.

    综上所述，.

    【法二】

    由，发现，故时，恒成立的必要条件是.

    而，，即

    ①时，恒成立，故在上单调递增，∴恒成立，符合题意.

    ②时，在时，，，知.

    故在上单调递增，恒成立，符合题意.

    综上所述，.

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）若过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交所得弦长为，求直线的斜率；

    （3）过点的任意直线与椭圆交于、两点，设点、到直线：的距离分别为.若，求的值.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】现代研究表明，体脂率（体脂百分数）是衡量人体体重与健康程度的一个标准．为分析体脂率对人体总胆固醇的影响，从女性志愿者中随机抽取12名志愿者测定其体脂率值及总胆固醇指标值（单位：mmol/L），得到的数据如表所示：

    (1)利用表中的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请用相关系数加以说明.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

    (2)求出与的线性回归方程，并预测总胆固醇指标值为9.5时，对应的体脂率值为多少？（上述数据均要精确到0.1）

    (3)医学研究表明，人体总胆固醇指标值服从正态分布，若人体总胆固醇指标值在区间之外，说明人体总胆固醇异常，该志愿者需作进一步医学观察.现用样本的作为的估计值，用样本的标准差作为的估计值，从这12名女志愿者中随机抽4人，记需作进一步医学观察的人数为，求的分布列和数学期望．

    附：参考公式：相关系数，，．

    参考数据：，，，

    ，．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表：

    学时数

    男性

    18

    12

    9

    9

    6

    4

    2

    女性

    2

    4

    8

    2

    7

    13

    4

    （1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；

    （2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．

    （3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下列联表，并判断是否有99．9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？

    非十分爱好该课程者

    十分爱好该课程者

    合计

    男性

    女性

    合计

    100

    附：，

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    10.828

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某高校共有10000人，其中男生7500人，女生2500人，为调查该校学生每则平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集200位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.调查部分结果如下列联表：

    男生

    女生

    总计

    每周平均体育运动时间不超过4小时

    35

    每周平均体育运动时间超过4小时

    30

    总计

    200

    （1）完成上述每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”；

    （2）已知在被调查的男生中，有5名数学系的学生，其中有2名学生每周平均体育运动时间超过4小时，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰有1人“每周平均体育运动时间超过4小时”的概率.

    附：，其中.

    0.10

    0.05

    0.010

    0.005

    2.706

    3.841

    6.635

    7.879

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．

    （1）求的解析式及单调递减区间；

    （2）是否存在常数，使得对于定义域内的任意， 恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知抛物线C：x2=2py经过点（2，1）．

    （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

    （Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．

    （1）求和平面所成的角的大小．

    （2）求二面角的正弦值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设函数．

    (1)若函数在上单调递增，求的取值范围；

    (2)当时，设函数的最小值为，求证：；

    (3)求证：对任意的正整数，都有．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案