Question

已知三棱锥P-ABC，PA⊥底面ABC，PA=1，底面ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，D是PC的中点，PC与底面ABC所成角的大小为，求异面直线AD与PB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

解：取BC中点E，连AE，DE，
∵D为PC中点，∴DE∥PB，
∴∠ADE（或其补角）的大小即为异面直线AD与PB所成的角的大小．（2分）
∵PA⊥底面ABC，
∴∠PCA就是PC与底面ABC所成角，即∠PCA=，
且PA⊥AB，PA⊥AC，
由已知条件及平面几何知识，得：，PB=2，
于是，（8分）
在△ADE中，由余弦定理得（12分）
∴∠ADE=，
即异面直线AD与PB所成的角的大小为．（14分）
分析：取BC中点E，连AE，DE，由三角形中位线定理及异面直线夹角的定义可得，∠ADE（或其补角）的大小即为异面直线AD与PB所成的角的大小．结合已知条件解△ADE求出∠ADE的余弦值，进而可得异面直线AD与PB所成角的大小．
点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中构造出∠ADE（或其补角）的大小即为异面直线AD与PB所成的角的大小，是解答本题的关键．