Question

16．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x-4），x＞0}\\{{2}^{x}+{∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3tdt，x≤0}\end{array}\right.$，则f（2015）等于$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 利用x＞0时的解析式求出函数的周期是4，推出f（2015）=f（-1），再由x≤0时的解析式、由定积分的运算求f（2015）的值．

解答 解：由题意得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x-4），x＞0}\\{{2}^{x}+{∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3tdt，x≤0}\end{array}\right.$，
所以x＞0时，f（x+4）=f（x），
则f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=f（-1），
又f（-1）=2^-1+${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3tdt$=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{3}$sin3t）${|}_{0}^{\frac{π}{6}}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×（1-0）$=$\frac{5}{6}$，
所以f（2015）=$\frac{5}{6}$
故答案为：$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查分段函数值的求法，函数的周期性，定积分的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．