Question

【题目】设函数，.

（1）设函数，若对任意的，都有，求实数的取值范围；

（2）设，方程在区间上有实数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得函数的导数，分类讨论得到函数的单调性，列出不等式，即可求解；

(2)由题意，设函数，求导得，分类讨论得到函数的单调性，结合题意，得出不等式组，即可求解。

（1）由题意，函数，所以.

①当时，因为，所以，故，不符合题意；

②当时，因为，所以，故在上单调递增.

欲使对任意的都成立，

则需，所以，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

(2)设函数，则函数的定义域是，

.

①当时，的单调增区间是，单调减区间是.

方程在区间上有实数解，等价于函数在上有零点，

其必要条件是，即，所以.

而 ，所以，

②若，在上是减函数，，在上没有零点；

③若，，在上是增函数，在上是减函数，所以在上有零点等价于 ，即，解得

综上所述，实数的取值范围是.