Question

14．已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与（x-2）²+（y-4）²=9相外切，若过点P（-1，1）的直线l与圆C交于A，B两点，当∠ACB最小时，弦AB的长为（　　）

• A． 4
• B． $2\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据题意先求圆心，利用与另外一个圆相外切，求出半径，直线与圆相交建立关系．动点考查，求方程．

解答 解：由题意：圆C的圆心在直线x-y+1=0与x轴的交点，则圆心为（-1，0），设半径为r．
圆C与圆（x-2）²+（y-4）²=9相外切，圆心距等于两圆半径之和，∴r+3=5
解得：r=2
所以圆C：（x+1）²+y²=4
P（-1，1）在圆C内．
由圆的弦长性质知道，弦长最短，对应的圆心角最小，
当∠ACB最小时，弦长最短，过某点的最短弦长是与过该点的直径垂直．
∵过P（-1，1）的直径方程为x=-1，
∴过P（-1，1）的最短弦方程为y=1，此时∠ACB最小，弦AB的长为2$\sqrt{3}$．
故选B．

点评 本题考查了圆与直线的关系的运用，过某点的弦长的性质．根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．属于基础题．