Question

4．已知函数f（x）=x+$\frac{a^2}{x}$，g（x）=-x-ln（-x）其中a≠0，
（1）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值及g（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁∈[1，2]，?x₂∈[-3，-2]使得f（x₁）≥g（x₂）恒成立，且-2＜a＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1）=0，求出a的值即可；
（2）问题等价于对任意的x₁∈[1，2]x₂∈[-3，-2]时，都有[f（x）]_min≥[g（x）]_min，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$，其定义域为（0，+∞），
∴$f'（x）=1-\frac{a^2}{x^2}$；又x=1是函数h（x）的极值点，
∴f'（1）=0，即1-a²=0，∴a=1或a=-1；
经检验，a=1或a=-1时，x=1是函数h（x）的极值点，
∴a=1或a=-1；
（2）假设存在实数a，对任意的x₁∈[1，2]，
?x₂∈[-3，-2]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
等价于对任意的x₁∈[1，2]x₂∈[-3，-2]时，都有[f（x）]_min≥[g（x）]_min，
当x∈[1，2]时，$g'（x）=-1-\frac{1}{x}＞0$．
∴函数g（x）在[-3，-2]上是减函数．
∴[g（x）]_min=g（2）=2+ln2．
∵$f'（x）=1-\frac{a^2}{x^2}$=$\frac{{（{x-a}）（{x+a}）}}{x^2}$，且x∈[1，2]，-2＜a＜0，
①当-1＜a＜0且x∈[1，2]时，$f'（x）=\frac{{（{x-a}）（{x+a}）}}{x^2}＞0$，
∴函数$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，2]上是增函数．∴[f（x）]_min=f（1）=1+a．
由1+a²≥2+ln2，得$a≤-\sqrt{1+ln2}$，
又∵-1＜a＜0，∴$a≤-\sqrt{1+ln2}$不合题意．
②当-2＜a≤-1时，若1≤x＜-a，则$f'（x）=\frac{{（{x-a}）（{x+a}）}}{x^2}＜0$，
若-a＜x≤2，则$f'（x）=\frac{{（{x-a}）（{x+a}）}}{x^2}＞0$，
∴函数$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，-a）上是减函数，在（-a，2]上是增函数．
∴[f（x）]_min=f（-a）=-2a-2a≥2+ln2，得$a≤-1-\frac{1}{2}ln2$，
∴$-2＜a≤-1-\frac{1}{2}ln2$．
综上，存在实数a的取值范围为$（{-2，-1-\frac{1}{2}ln2}]$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．