Question

13．已知函数f（x）=|x+2|-m，m∈R，且f（x）≤0的解集为[-3，-1]
（1）求m的值；
（2）设 a、b、c 为正数，且 a+b+c=m，求.$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意，|x+2|≤m?$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{-m-2≤x≤m-2}\end{array}\right.$，由f（x）≤0的解集为[-3，-1]，得$\left\{\begin{array}{l}{-m-2=-3}\\{m-2=-1}\end{array}\right.$，即可求实数m的值；
（2）由（1）得：a+b+c=1，再利用柯西不等式求得$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$的最小值．

解答 解：（1）由题意，|x+2|≤m?$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{-m-2≤x≤m-2}\end{array}\right.$，由f（x）≤0的解集为[-3，-1]，得$\left\{\begin{array}{l}{-m-2=-3}\\{m-2=-1}\end{array}\right.$，解得m=1；
（2）由（1）可得a+b+c=1，
由柯西不等式可得（3a+1+3b+1+3c+1）（1²+1²+1²]≥（$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$）²，
∴.$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$$≤3\sqrt{2}$
当且仅当.$\sqrt{3a+1}$=$\sqrt{3b+1}$=$\sqrt{3c+1}$，即a=b=c=$\frac{1}{3}$时等号成立，
∴$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$的最小值为3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．