【题目】在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,平面PAC⊥底面ABCD,PA=PC=
(1)求证:PB=PD;
(2)若点M,N分别是棱PA,PC的中点,平面DMN与棱PB的交点Q,则在线段BC上是否存在一点H,使得DQ⊥PH,若存在,求BH的长,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见证明;(2)见解析
【解析】
(1) 记AC∩BD=O,连结PO,易证PO⊥AC,结合平面PAC⊥底面ABCD,可得到PO⊥底面ABCD,从而得到PO⊥BD,则有PB=PD;(2) 以O为坐标原点,射线OB,OC,OP的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,求出平面的法向量n,设,可得到点的坐标,即可表示出,由=0,可求出及,设,可表示出点及,由,可求出,从而可求出。
(1)证明:记AC∩BD=O,连结PO,
底面ABCD为正方形,OA=OC=OB=OD=2.
PA=PC,PO⊥AC,
平面PAC∩底面ABCD=AC,PO平面PAC,
PO⊥底面ABCD.
BD底面ABCD,PO⊥BD.
PB=PD.
(2)以O为坐标原点,射线OB,OC,OP的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,由(1)可知OP=2.
可得P(0,0,2),A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),
可得,M(0,-1,1), N(0,1, 1).,.
设平面的法向量n=,
,,
令,可得n=.
记,可得,
,=0,可得,,解得.
可得,.
记,可得,
,若DQPH,则,
,解得.故.
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【题目】已知函数的定义域为[-1,5],部分对应值如下表, 的导函数的图象如图所示,下列关于的命题:
-1 | 0 | 4 | 5 | |
1 | 2 | 2 | 1 |
①函数的极大值点为0,4;
②函数在[0,2]上是减函数;
③如果当时, 的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当1<a<2时,函数有4个零点.
其中正确命题的序号是__________.
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【题目】10月1日,某品牌的两款最新手机(记为型号,型号)同时投放市场,手机厂商为了解这两款手机的销售情况,在10月1日当天,随机调查了5个手机店中这两款手机的销量(单位:部),得到下表:
手机店 |
|
|
|
|
|
型号手机销量 | 6 | 6 | 13 | 8 | 11 |
型号手机销量 | 12 | 9 | 13 | 6 | 4 |
(Ⅰ)若在10月1日当天,从,这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部,求抽取的2部手机中至少有一部为型号手机的概率;
(Ⅱ)现从这5个手机店中任选3个举行促销活动,用
(III)经测算,型号手机的销售成本(百元)与销量(部)满足关系.若表中型号手机销量的方差,试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值.(用表示,结论不要求证明)
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【题目】已知椭圆C:()的左右焦点分别为,.椭圆C上任一点P都满足,并且该椭圆过点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点的直线l与椭圆C交于A,B两点,过点A作x轴的垂线,交该椭圆于点M,求证:三点共线.
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【题目】求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上,实轴长10,虚轴长8.
(2)焦点在y轴上,焦距是10,虚轴长8.
(3)离心率,经过点.
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【题目】已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品,且每生产1件正品可获利20元,生产1件次品损失30元,甲,乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.
甲每天生产的次品数/件 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
对应的天数/天 | 40 | 20 | 20 | 10 | 10 |
乙每天生产的次品数/件 | 0 | 1 | 2 | 3 |
对应的天数/天 | 30 | 25 | 25 | 20 |
(1)将甲每天生产的次品数记为(单位:件),日利润记为(单位:元),写出与的函数关系式;
(2)如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率,记表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡,顾客乙只带了现金,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有( )种
A. 19B. 7C. 26D. 12
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