Question

在f₁（x）=x

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，f₂（x）=x²，f₃（x）=2^x，f₄（x）=log

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x四个函数中，x₁＞x₂＞1时，能使

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[f(x1)+f(x2)]＜f(

x1+x2

2

)；成立的函数是（　　）

• A、f₁（x）=x

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• B、f₂（x）=x²
• C、f₃（x）=2^x
• D、f₄（x）=log

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  2

  x

Answer 1

分析：因为

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[f(x1)+f(x2)]＜f(

x1+x2

2

)；表示连接两点A（x₁，f（x₁）），B （x₂，f（x₂））的线段的中点纵坐标小于f（x）在曲线AB中点(

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

))；的纵坐标，也就是说f（x）的图象“上凸”．所以只需判断哪个函数的图象“上凸”即可．

解答：解：∵

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[f(x1)+f(x2)]＜f(

x1+x2

2

)；表示连接两点A（x₁，f（x₁）），B （x₂，f（x₂））的线段的中点纵坐标小于f（x）在曲线AB中点(

x1+x2

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，f(

x1+x2

2

))；的纵坐标，
也就是说f（x）的图象“上凸”．所以只需判断哪个函数的图象“上凸”即可．
由图形可直观得到：B，C，D 的图象都不是上凸的，只有f₁（x）=x

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2

为“上凸”的函数．
故选A．

点评：（1）不要忽视条件：x₁＞x₂＞1，它表示函数f（x）在（1，+∞）上“上凸”；
（2）

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[f(x1)+f(x2)]＜f(

x1+x2

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)；表示函数f（x）上凸；
（3）

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[f(x1)+f(x2)]＞f(

x1+x2

2

)；表示函数f（x）下凸．