【题目】如图所示,四面体ABCD中,已知平面BCD⊥平面ABC,BD⊥DC,BC=6,AB=4 ,∠ABC=30°.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若二面角B﹣AC﹣D为45°,求直线AB与平面ACD所成的角的正弦值.
【答案】
(1)证明:△ABC中,由余弦定理得AC2=36+48﹣2× =12,
∴ ,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.
又平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC,AC平面ABC,
∵AC⊥平面BCD.又∵BD平面BCD,
∴AC⊥BD.
(2)解:∵AC⊥平面BCD,CD平面BCD,
∴AC⊥CD.又∵BC⊥AC,
∴∠BCD是平面DAC与平面BAC所成的二面角的平面角,即∠BCD=45°.
∵BD⊥CD,AC⊥BD,CD平面ACD,AC平面ACD,CD∩AC=C,
∴BD⊥平面ACD.
∴∠BAD是AB与平面ACD所成的角.
Rt△ACD中, ,
∴ .
即求直线AB与平面ACE所成的角的正弦值为 .
【解析】(1)利用余弦定理计算AC,得出AC⊥BC,再利用面面垂直的性质得出AC⊥平面BCD,从而有AC⊥BD;(2)证明BD⊥平面ACD,于是∠BAD为所求角,先计算BD,在Rt△ABD中计算sin∠BAD.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用空间中直线与直线之间的位置关系和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
.
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【题目】甲、乙两名篮球运动员在7场比赛中的得分情况如茎叶所示, 甲、
乙分别表示甲、乙两人的平均得分,则下列判断正确的是( )
A. 甲>
乙 , 甲比乙得分稳定
B. 甲>
乙 , 乙比甲得分稳定
C. 甲<
乙 , 甲比乙得分稳定
D. 甲<
乙 , 乙比甲得分稳定
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【题目】如图,多面体ABCDE中,AB=AC,平面BCDE⊥平面ABC,BE∥CD,CD⊥BC,BE=1,BC=2,CD=3,M为BC的中点.
(1)若N是棱AE上的动点,求证:DE⊥MN;
(2)若平面ADE与平面ABC所成锐二面角为60°,求棱AB的长.
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【题目】现有10支队伍参加篮球比赛,规定:比赛采取单循环比赛制,即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场;每场比赛中,胜方得2分,负方得0分,平局双方各得1分.下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是( )
A.可能有两支队伍得分都是18分
B.各支队伍得分总和为180分
C.各支队伍中最高得分不少于10分
D.得偶数分的队伍必有偶数个
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【题目】“抛物线 的准线方程为
”是“抛物线
的焦点与双曲线
的焦点重合”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】如图,在海岸线 一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段
,该曲线段是函数
,
的图像,图像的最高点为
.边界的中间部分为长1千米的直线段
,且
.游乐场的后一部分边界是以
为圆心的一段圆弧
.
(1)求曲线段 的函数表达式;
(2)曲线段 上的入口
距海岸线
最近距离为1千米,现准备从入口
修一条笔直的景观路到
,求景观路
长;
(3)如图,在扇形 区域内建一个平行四边形休闲区
,平行四边形的一边在海岸线
上,一边在半径
上,另外一个顶点P在圆弧
上,且
,求平行四边形休闲区
面积的最大值及此时
的值.
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【题目】2015男篮亚锦赛决赛阶段,中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军,同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券.赛后,中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP(最有价值球员),如表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据.
比分 | 易建联技术统计 | |||
投篮命中 | 罚球命中 | 全场得分 | 真实得分率 | |
中国91﹣42新加坡 | 3/7 | 6/7 | 12 | 59.52% |
中国76﹣73韩国 | 7/13 | 6/8 | 20 | 60.53% |
中国84﹣67约旦 | 12/20 | 2/5 | 26 | 58.56% |
中国75﹣62哈萨克期坦 | 5/7 | 5/5 | 15 | 81.52% |
中国90﹣72黎巴嫩 | 7/11 | 5/5 | 19 | 71.97% |
中国85﹣69卡塔尔 | 4/10 | 4/4 | 13 | 55.27% |
中国104﹣58印度 | 8/12 | 5/5 | 21 | 73.94% |
中国70﹣57伊朗 | 5/10 | 2/4 | 13 | 55.27% |
中国78﹣67菲律宾 | 4/14 | 3/6 | 11 | 33.05% |
注:①表中a/b表示出手b次命中a次;
②TS%(真实得分率)是衡量球员进攻的效率,其计算公式为:
TS%= .
(Ⅰ)从上述9场比赛中随机选择一场,求易建联在该场比赛中TS%超过50%的概率;
(Ⅱ)从上述9场比赛中随机选择两场,求易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%的概率;
(Ⅲ)用x来表示易建联某场的得分,用y来表示中国队该场的总分,画出散点图如图所示,请根据散点图判断y与x之间是否具有线性相关关系?结合实际简单说明理由.
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