Question

（本小题满分12分）已知函数的定义域为.对定义域内的任意，都有,且当时， ,且

   （1） 求证：是偶函数；

   （2） 求证：在（0,+∞）上是增函数；

   （3）解不等式

Answer 1

解析：（1）因对定义域内的任意x1﹑x2都有

f（x1x2）=f（x1）+f（x2）,令x1=x,x2=-1，则有f（-x）=f（x）+f（-1）.

又令x1=x2=-1,得2f（-1）=f（1）.

再令x1=x2=1,得f（1）=0,从而f（-1）=0,

于是有f（-x）=f（x）,所以f（x）是偶函数.             …………4分

  （2）设0＜x1＜x2,则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x1·）=f（x1）-[f（x1）+f（）]=-f（）.

由于0＜x1＜x2,所以＞1,从而f（）＞0,故f（x1）-f（x2）＜0,即f（x1）＜f（x2）,

所以f（x）在（0,+∞）上是增函数.          …………8分

（3）由于f（2）=1，所以2=1+1=f（2）+f（2）=f（4）,

于是待解不等式可化为f（2x2-1）＜f（4）,

结合（1）（2）已证的结论，可得上式等价于|2x2-1|＜4,

解得{x|-＜x＜,且x≠0}.       …………12分