Question

已知函数f（x）=

x2(x＞1) x2-4x+4(x≤1)

，若f（2m+1）＞f（m²-2），则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：根据题意，结合函数f（x）的单调性，讨论m的取值，把不等式f（2m+1）＞f（m²-2）转可化为含有m的可以解答的不等式，从而求出m的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=

x2(x＞1) x2-4x+4(x≤1)

，
∴当

2m+1＞1 m2-2＞1

，即m＞

3

时，f（x）是增函数，
f（2m+1）＞f（m²-2）可化为2m+1＞m²-2，解得-1＜m＜3；
∴m的取值范围是

3

＜m＜3；
当

2m+1≤1 m2-2≤1

，即-

3

≤m≤0时，f（x）是减函数，
f（2m+1）＞f（m²-2）可化为2m+1＜m²-2，解得m＜-1，或m＞3；
∴m的取值范围是-

3

≤m＜-1；
当

2m+1＞1 m2-2≤1

，即0＜m≤

3

时，
f（2m+1）＞f（m²-2）可化为（2m+1）²＞[（m²-2）-2]²，解得1-

6

＜m＜1+

6

，或-3＜m＜1；
∴m的取值范围是0＜m＜1；
当

2m+1≤1 m2-2＞1

，即m＜-

3

时，
f（2m+1）＞f（m²-2）可化为[（2m+1）-2]²＞（m²-2）²，解得-3＜m＜1；1-

2

＜m＜1+

2

∴m的取值范围是-3＜m＜-

3

；
综上，m的取值范围是{m|-3＜m＜-1，0＜m＜1或

3

＜m＜3}．

点评：本题考查了函数的单调性应用问题，也考查解分类讨论解不等式的问题，解题的关键是分类讨论与确定函数的单调性的问题，是易错题．