Question

设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．
（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立?f（x）_max＜c²在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6x²+6ax+3b，
因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．
即

6+6a+3b=0 24+12a+3b=0

解得a=-3，b=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x³-9x²+12x+8c，f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；
当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；
当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．
所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．
则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．
因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c²恒成立，
所以9+8c＜c²，
解得c＜-1或c＞9，
因此c的取值范围为（-∞，-1）∪（9，+∞）．

点评：本题考查了导数的应用：函数在某点存在极值的性质，函数恒成立问题题，而函数①f（x）＜c²在区间[a，b]上恒成立与②存在x∈[a，b]，使得f（x）＜c²是不同的问题．①?f（x）_max＜c²，②?f（x）_min＜c²，在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在”问题．在解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用．