Question

如图，在平面直角坐标系内，已知A（1，0），B（-1，0）两点，且圆C的方程为x²+y²-6x-8y+21=0，点P为圆上的动点．
（1）求△ABP面积的最小值；
（2）求|AP|²+|BP|²的最大值．

Answer 1

分析：（1）由A与B两点坐标确定出|AB|的长，得出圆上找出最低点，可得出三角形ABP面积最小，由圆的方程变形得出圆心C坐标及半径，根据C横坐标确定出P₁横坐标，由C纵坐标减去半径确定出P₁纵坐标，三角形ABP的最小面积由|AB|与P₁纵坐标乘积的一半求出；
（2）设P（x，y），利用两点间的距离公式表示出|AP|，|BP|，代入所求式子中化简，整理后得出所求式子最大即为|OP|最大，而P为圆上的点，连接OC延长与圆的交点即为此时的P点，（|OP|）_max=|OC|+r，求出|OP|的最大值，即可确定出所求式子的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵|AB|=

(1+1)2+02

=2，
∴在圆上只要找到最低点P₁可得出△ABP面积的最小值，
又∵圆心坐标为（3，4），半径为2，
∴P₁横坐标为3，纵坐标为4-2=2，即P₁（3，2），
则所求的最小面积为S=

1

2

×2×2=2；
（2）设P（x，y），由两点间的距离公式知|AP|²+|BP|²=（x+1）²+y²+（x-1）²+y²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2，
要使|AP|²+|BP|²最大只要使|OP|²最大即可，
又P为圆上的点，
∴（|OP|）_max=|OC|+r=5+2=7，
∴（|AP|²+|BP|²）_max=100．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，圆的标准方程，坐标与图形性质，熟练掌握公式是解本题的关键．