【题目】如图，已知等边
中，
，
分别为
，
边的中点，
为
的中点，
为
边上一点，且
，将
沿
折到
的位置，使平面
平面
.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：（1）首先根据已知条件可证出
，再由面面垂直的性质定理并结合平面
平面
可得出
平面，然后再由
和
可证得
，再在正
中易证得
平面
，最后由面面垂直的判定定理即可得出所证的结论；（2）首先建立空间直角坐标系，并正确写出各点的空间坐标，然后由法向量的定义分别求出平面
和平面
的法向量，最后由公式
即可计算出所求的角的大小.
试题解析：（Ⅰ）因为
，
为等边的
，
边的中点，
所以
是等边三角形，且
.因为
是
的中点，所以.
又由于平面平面，
平面
，所以平面.
又
平面，所以.因为，所以
，所以.
在正中知
，所以
.而
，所以平面.
又因为
平面
，所以平面
平面
.
（Ⅱ）设等边的边长为4，取
中点
，连接
，由题设知
，由（Ⅰ）知
平面
，又
平面，所以
，如图建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
.
设平面的一个法向量为
，则
由
得
令
，则
.
平面的一个法向量为
，所以
，
显然二面角
是锐角.所以二面角
的余弦值为
.
发散思维新课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】
函数
.
（1）当
时，求函数
的定义域；
（2）若
，判断
的奇偶性；
（3）是否存在实数
，使函数在
递增，并且最大值为1，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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【题目】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
（升）关于行驶速度
（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
．已知甲、乙两地相距100千米．
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
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【题目】已知
，
是两条不同直线，
，
是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，垂直于同一平面，则与平行
B.若，平行于同一平面，则与平行
C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线
D.若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
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【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（
为参数）．若直线
与圆
相交于不同的两点
，
．
（Ⅰ）写出圆
的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；
（Ⅱ）若弦长
，求直线
的斜率．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某制造厂商10月份生产了一批乒乓球，从中随机抽取
个进行检查，测得每个球的直径（单位：
），将数据进行分组，得到如下频率分布表：
（1）求
、
、及
、
的值，并画出频率分布直方图（结果保留两位小数）；
（2）已知标准乒乓球的直径为
，直径误差不超过
的为五星乒乓球，若这批乒乓球共有
个，试估计其中五星乒乓球的数目；
（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间
的中点值是
）作为代表，估计这批乒乓球直径的平均值和中位数．
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【题目】某制造厂商10月份生产了一批乒乓球，从中随机抽取
个进行检查，测得每个球的直径（单位：
），将数据进行分组，得到如下频率分布表：
（1）求
、
、
及
、
的值，并画出频率分布直方图（结果保留两位小数）；
（2）已知标准乒乓球的直径为
，直径误差不超过
的为五星乒乓球，若这批乒乓球共有
个，试估计其中五星乒乓球的数目；
（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间
的中点值是
）作为代表，估计这批乒乓球直径的平均值和中位数．
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