Question

已知M(1+cos2x，1)，N(1，

3

sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常数），且y=

OM

•

ON

（O为坐标原点）
（Ⅰ）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为2009，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）题目给出了两点的坐标，即两向量

OM

和

ON

的坐标，直接运用两向量的数量积的坐标表示可求函数f（x）．
（Ⅱ）把求出的函数表达式化积后求其在x∈[0，

π

2

]时的最大值，由最大值等于2009可以求a的值．

解答：解：（Ⅰ）因为M(1+cos2x，1)，N(1，

3

sin2x+a)
所以f(x)=

OM

•

ON

=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+1+a．
（Ⅱ）f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1+a
因为0≤x≤

π

2

，所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）_max=3+a
所以3+a=2009，解得a=2006．

点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了三角函数的化积问题，三角函数的化积是常见题型，应重点掌握．