Question

已知函数f(x)=x³-2ax²-3x(a∈R).

(1)当|a|≤时，求证：f(x)在（-1，1）内是减函数；

(2)若函数y=f(x)在区间（-1，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围.

Answer 1

解:（1）∵f′(x)=2x²-4ax-3,且|a|≤,

∴

又函数f′(x)图象的对称轴x=a,a∈(-1,1),

∴在区间（-1，1）内，恒有f′(x)＜0.

故f(x)在（-1，1）内是减函数.

（2）设极值点为x₀(-1＜x₀＜1)，则f′(x₀)=0.

当a＞时，

∴在（-1，x₀）内f′(x)＞0,在(x₀,1)内f′(x)＜0，即f(x)在（-1，x₀）内是增函数，在(x₀,1)内是减函数.

∴当a＞时，f(x)在（-1，1）内有且只有一个极大值点.

当a＜时，同理可知，f(x)在（-1，1）内有且只有一个极小值点.

当≤a≤时，由（1）可知，f(x)在（-1，1）内没有极值点.

故所求a的取值范围是(-∞,)∪(,+∞).