Question

设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1；
（2）判断f（x）在R上的单调性；
（3）设集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法证明f（0）=1，因为f（m+n）=f（m）f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1，利用赋值法，只需令m=x＜0，n=-x＞0，即可证明当x＜0时，有f（x）＞1．
（2）利用函数单调性的定义判断，只需设R上x₁，x₂，且x₁＜x₂，再作差比较f（x₂）与f（x₁）的大小即可．
（3）先判断集合A，B分别表示什么集合，两个集合都是点集，A表示圆心在（0，0），半径是1的圆的内部，B表示直线ax-y+2=0，因为A∩B=∅，所以直线与圆内部没有交点，直线与圆相离或相切，再据此求出参数的范围．

解答：解：（1）证明：∵f（m+n）=f（m）f（n），令m=1，n=0，则f（1）=f（1）f（0），
且由x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）＞0∴f（0）=1；
设m=x＜0，n=-x＞0，∴f（0）=f（x）f（-x），∴f（x）=

1

f(-x)

∵-x＞0，∴0＜f（-x）＜1，∴

1

f(-x)

＞1．
即当x＜0时，有f（x）＞1．
（2）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，∴0＜f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0，
 当m=n时，f（2n）=f（n）f（n）=f（n）²≥0，
所以当x∈R，f（x）≥0，所以f（x₁）≥0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂＞f（x₁），
∴f（x）在R上单调递减．
（3）∵f（x²）f（y²）＞f（1），
∴f（x²+y²）＞f（1），由f（x）单调性知x²+y²＜1，
又f（ax-y+2）=1=f（0），
∴ax-y+2=0，
又A∩B=∅，∴

2

a2+1

≥1，
∴a²+1≤4，从而-

3

≤a≤

3

．

点评：本题主要考查了赋值法求抽象函数的函数值，以及抽象函数单调性的证明，利用集合关系判断直线与圆的位置关系．