Question

【题目】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若的顶点、在椭圆上， 所在的直线斜率为， 所在的直线斜率为，若，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2.

【解析】试题分析：(1)根据椭圆长轴与短轴的关系列出一个方程，再根据椭圆过已知点列出一个方程，解方程组求出a,b,写出椭圆的标准方程;(2)由于OA和OB的斜率乘积为定值，因此OA的斜率为，则OB的斜率可表示为，分别把射线OA、OB的方程与椭圆的方程联立，求出A、B两点的横坐标，得出两点的横坐标的积，根据OA、OB方程得出A、B两点的纵坐标的积，从表示出数量积,再利用基本不等式求出最值.

试题解析：

（1）由题意得解得

∴椭圆的标准方程为．

（2）设， ，不妨设， ．

由，∴（），

直线、的方程分别为， ，

联立

解得， ．

∵ ，

当且仅当时，等号成立．

所以的最大值为2．