Question

15．设p：$\frac{m-2}{m-3}$≤$\frac{2}{3}$，q：关于x的不等式x²-4x+m²≤0的解集为∅，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题的等价条件，结合p∧q为假，p∨q为真，进行求解即可．

解答 解：由$\frac{m-2}{m-3}$≤$\frac{2}{3}$，得$\frac{m-2}{m-3}$-$\frac{2}{3}$≤0，即$\frac{3（m-2）-2（m-3）}{3（m-3）}$=$\frac{m}{3（m-3）}≤0$，解得0≤m＜3，即p：0≤m＜3，
若关于x的不等式x²-4x+m²≤0的解集为∅，
则判别式△=16-4m²＜0，即m²＞4，解得m＞2或m＜-2，即q：m＞2或m＜-2，
若p∧q为假，p∨q为真，
则p，q为一假一真，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{0≤m＜3}\\{-2≤m≤2}\end{array}\right.$解得0≤m≤2；
若q真p假，则$\left\{\begin{array}{l}{m＜0或m≥3}\\{m＞2或m＜-2}\end{array}\right.$，
解得m≥3或m＜-2，
综上m≥3或m＜-2或0≤m≤2．

点评 本题主要考查复合命题之间的关系，求出命题的等价条件是解决本题的关键．