Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=

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2

CD=1．现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．
（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取EC中点N，连接MN，BN，证明BN∥AM．说明BN?平面BEC，且AM?平面BEC，即可证明AM∥平面BEC；
（2）先证明ED⊥BC，BC⊥BD，ED∩BD=D，即可证明BC⊥平面BDE．

解答： 证明：（1）取EC中点N，M是EC的中点，连接MN，BN．
在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，
所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

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CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．        
所以四边形ABNM为平行四边形．
所以BN∥AM．                              
又因为BN?平面BEC，且AM?平面BEC，
所以AM∥平面BEC．         
（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，得BC=

2

．
在△BCD中，BD=BC=

2

，
所以BD²+BC²=CD²．
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE．

点评：本题是中档题，考查直线与平面的平行与垂直的证明方法，几何体的体积的解法，考查空间想象能力、计算能力，注意转化思想的应用，判定定理的正确应用．