Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），直线l交椭圆C与P，Q两点．
（Ⅰ）若k=1，椭圆C经过点（

2

，1），直线l经过椭圆C的焦点和顶点，求椭圆方程；
（Ⅱ）若k=

1

2

，b=1，且k_OP，k，k_OQ成等比数列，求三角形OPQ面积S的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

2 a2 + 1 b2 =1 b=c a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设PQ直线方程为y=

x

2

+m，椭圆方程为C：

x2

a2

+y2=1，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），k_OP，k，k_OQ成等比数列，则

y1

x1

•

y2

x2

=k2，由此能求出三角形OPQ面积S的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），
k=1，椭圆C经过点（

2

，1），直线l经过椭圆C的焦点和顶点，
∴

2 a2 + 1 b2 =1 b=c a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=2，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）设PQ直线方程为y=

x

2

+m，椭圆方程为C：

x2

a2

+y2=1，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），k_OP，k，k_OQ成等比数列，
则

y1

x1

•

y2

x2

=k2，
化简，得x₁+x₂=-2m，
将y=

x

2

+m代入

x2

a2

+y2=1，化简，得(1+

a2

4

)x2+a2mx+a2(m2-1)=0，
x1+x2=

-a2m

1+ a2 4

=-2m，解得a²=4，
x1x2=2(m2-1)，
S△OPQ=

1

2

|m|•|x1-x2|=

m2(2-m2)

≤1，取等号m²=1要舍去，
∴0＜S_△OPQ＜1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．