Question

已知圆C：x²+（y-2）²=1，过P（1，0），作圆C的切线，切点A，B．
（1）求直线PA、PB的直线方程；
（2）求弦长|AB|；
（3）若Q点是x轴上的动点，过Q点作圆C的切线．切点为G、H，求四边形GCHQ的面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）若k存在，设直线PA：y=k（x-1），由圆心到切线距离等于半径，能求出直线PA；若k不存在，PB：x=1也是圆的一条切线．
（2）利用等面积法能求出|AB|．
（3）设Q（m，0），S_{四边形GCHQ}=GH×QH，由此能求出当Q（0，0）时，四边形GCHQ的面积的最小值为

3

．

解答： 解：（1）圆C：x²+（y-2）²=1，过P（1，0），
作圆C的切线，切点A，B，
若k存在，设直线PA：y=k（x-1），
d=

|2+k|

k2+1

=1，解得k=-

3

4

，
∴直线PA：y=-

3

4

(x-1)，整理，得3x+4y-3=0．
若k不存在，PB：x=1也是圆的一条切线，
∴直线PB：x=1．
（2）∵半径r=1，PC=

5

，PB=2，
∴

1

2

PC×

AB

2

=

1

2

BC×BP，
∴AB=

BC×BP

PC

×2=

4 5

5

．
（3）设Q（m，0），
S_{四边形GCHQ}=GH×QH，
∵CQ=

m2+4

，QH=

CQ2-CH2

=

m2+3

，
∴S_{四边形GCHQ}=

m2+3

≥

3

，
∴当Q（0，0）时，四边形GCHQ的面积的最小值为

3

．

点评：本题考查圆的切线方程的求法，考查弦长的求法，考查四边形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．