Question

已知函数f（x）=x³+ax²-3x的导函数为f′（x），且函数f′（x）的对称轴为x=-1．
（1）求a的值；
（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数的运算

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，利用函数f′（x）的对称轴为x=-1，即可求a的值；
（2）求出切线的斜率，切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+ax²-3x，
∴f′（x）=3x²+2ax-3，
∵函数f′（x）的对称轴为x=-1，
∴-

a

3

=-1，
∴a=3；
（2）f′（x）=3x²+6x-3，
∴f′（1）=6，f（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=6（x-1），即6x-y-5=0．

点评：本题考查了利用导数的几何意义：即在某点处的导数即在该点处的切线的斜率，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．