Question

如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD且EF=

1

2

BD．
（1）求证：BF∥平面ACE；
（2）求证：平面EAC⊥平面BDEF
（3）求几何体ABCDEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）记AC与BD的交点为O，则DO=BO=

1

2

BD，连接EO，则可证出四边形EFBO是平行四边形，从而BF∥EO，最后结合线面平行的判定定理，可得BF∥平面ACE；
（2）利用面面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面BDEF；
（3）利用条件公式求几何体的条件．

解答： （1）证明：记AC与BD的交点为O，则DO=BO=

1

2

BD，连接EO，
∵EF∥BD且EF=

1

2

BD，
∴EF∥BO且EF=BO，则四边形EFBO是平行四边形，
∴BF∥EO，
又∵EO?面ACE，BF?面ACE，
∴BF∥平面ACE； 
（2）证明：∵ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴ED⊥AC．
∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
又ED∩BD=D，∴AC⊥平面BDEF，
又AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；
（3）解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，
又∵EF∥BD且EF=

1

2

BD，∴BDEF是直角梯形，
又∵ABCD是边长为2的正方形，BD=2

2

，EF=

2

，
∴梯形BDEF的面积为

( 2 +2 2 )×1

2

=

3 2

2

，
由（1）知AC⊥平面BDEF，
∴几何体的体积VABCDEF=2VA-BDEF=2×

1

3

SBDEF•AO=2×

1

3

×

3 2

2

×

2

=2．

点评：本题以一个特殊多面体为例，考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定理、空间几何体的体积，要求熟练掌握相应的判定定理，属于中档题．