Question

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球中没有红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用古典概型概率计算公式能求了取出的4个球中没有红球的概率．
（Ⅱ）利用互斥事件概率加法公式能求出取出的4个球中恰有1个红球的概率．
（Ⅲ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： （本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设“取出的4个球中没有红球”为事件A．
则P(A)=

C 2 3 C 2 3

C 2 4 C 2 6

=

1

10

，
所以取出的4个球中没有红球的概率为

1

10

．（4分）
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；
从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件B，
“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；
从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件C．
由于事件B，C互斥，
且P(B)=

C 2 3

C 2 4

•

C 1 3 • C 1 3

C 2 6

=

1

2

×

3

5

=

3

10

，（6分）
P(C)=

C 1 3

C 2 4

•

C 2 3

C 2 6

=

1

2

×

1

5

=

1

10

．（8分）
所以，取出的4个球中恰有1个红球的概率为：
P(B∪C)=P(B)+P(C)=

3

10

+

1

10

=

2

5

．（9分）
（Ⅲ）解：ξ可能的取值为0，1，2，3．（10分）
由（Ⅰ）（Ⅱ）知P(ξ=0)=

1

10

，P(ξ=1)=

2

5

．P(ξ=2)=

C 1 3

C 2 4

•

C 1 3 C 1 3

C 2 6

+

C 2 3

C 2 4

•

C 2 3

C 2 6

=

3×3×3

6×15

+

3×3

6×15

=

2

5

．
P(ξ=3)=

C 1 3

C 2 4

•

C 2 3

C 2 6

=

1

2

×

1

5

=

1

10

，
所以，ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 10	2 5	2 5	1 10

（12分）
所以ξ的数字期望Eξ=0×

1

10

+1×

2

5

+2×

2

5

+3×

1

10

=

3

2

．（13分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．