Question

若二次函数f（x）=x²-ax+2a-1仅存在整数零点，则实数a的集合为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：若二次函数f（x）=x²-ax+2a-1仅存在整数零点，则x²-ax+2a-1=0仅有整数根，则x=

a± a2-8a+4

2

是整数．进而由韦达定理可得a是整数，分析讨论后可得实数a的集合．

解答： 解：若二次函数f（x）=x²-ax+2a-1仅存在整数零点，
则x²-ax+2a-1=0仅有整数根，
即x=

a± a2-8a+4

2

是整数．
∴设a²-8a+4=k²，
则a=4±

k2+12

，
∵x₁+x₂=a，a是整数，故

k2+12

也是整数，
即k²+12是个完全平方数，设k²+12=n²，
则n²-k²=12，
∴（n-k）（n+k）=12，
又由（n-k），（n+k）的奇偶性相同，
故n-k，n+k的值只能为2，6，或-2，-6，
∵解得n=4，n=-4，
∴a=0或a=8，
代入验证后，a=0或a=8都符合题意．
故实数a的集合为{0，8}，
故答案为：{0，8}

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，方程的根，分类讨论思想，转化难度比较大，属于难题．