Question

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆周上的点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AB=2

2

，AC=2，PA=2，求二面角C-PB-A的度数．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由圆的性质得AC⊥BC，由线面垂直得PA⊥BC，从而BC⊥平面PAC，由此能证明平面PBC⊥平面PAC．
（2）连接CO，过O在平面PAB上作OM⊥PB于M，连接CM，∠OMC是二面角C-PB-A的平面角，由此能求出二面角C-PB-A的度数．

解答： （1）证明：由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，（1分）
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC，（3分）
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，（4分）
又BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．（6分）
（2）解：连接CO，∵AB=2

2

，
AC=2，∴BC=2，∴AB⊥OC，（8分）
过O在平面PAB上作OM⊥PB于M，连接CM，
由三垂线定理CM⊥PB，
∴∠OMC是二面角C-PB-A的平面角，（10分）
∵OC是圆半径，∴OC=

2

，
由△BOM∽△BPA，得OM=

2

3

，
在Rt△OMC中，tan∠OMC=

OC

OM

=

3

，
∴∠OMC=60°．
∴二面角C-PB-A的度数为60°．（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的度数的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．