Question

四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，设E为BC的中点，二面角P-DE-A为45°．
（1）求点A到平面PDE的距离；
（2）在PA上确定一点F，使BF∥平面PDE；
（3）求异面直线PC与DE所成的角（用反三角函数表示）；
（4）求面PDE与面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大小（用反三角函数表示）．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）要想求点到面的距离，必须过点找到底面的垂线，即AH⊥面PDE，那么AH为点A到平面PDE的距离，然后再求线段的长度即可．
（2）根据线面平行的判定定理可知，只有在面内找到一条线与已知直线平行，即BF∥EH，线线平行从而达到线面平行的目的．
（3）以A为原点，AD为x轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与DE所成的角．
（4）根据定义先作出二面角的平面角，即∠AOH为平面PDE与平面PAB二面角的平面角，然后解三角形即可得到角的大小．

解答： 解：（1）∵DE为正△BCD的中线，∴DE⊥BC，
∵AD∥BC，∴DE⊥AD，
又∵PA⊥平面ABCD且DE⊆面ABCD，∴DE⊥PD，
∴∠PDA为二面角P-DE-A的平面角
又∵∠PDA=45°且PA=AD， 作AH⊥PD于H，则DE⊥AH，
∴AH⊥平面PDE
又∵PA=AD=2，∴AH=

2

，
∴点A到平面PDE的距离为

2

．  
（2）取PA的中点为F，连接BF，HF
∵F，H分别是PA，PD的中点
∴在△PAD内，HF∥AD且HF=

1

2

AD，
又∵EB∥AD且EB=

1

2

AD，
∴EB∥HF且EB=HF，
∴四边形FHEB为平行四边形，
∴BF∥EH，且EH?面PDE，
BF不包含于面PDE，
∴BF∥平面PDE．
（3）以A为原点，AD为x轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（3，

3

，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（2，

3

，0），
∴

PC

=(3，

3

，0)，

DE

=(0，

3

，0)，
设异面直线PC与DE所成的角为θ，
cosθ=|cos＜

PC

，

DE

＞|=|

3

3 • 12

|=

1

2

，
∴异面直线PC与DE所成的角为arccos

1

2

．
（4）设AB∩DE=M，连PM，作HO⊥PM于O，连AO
∵AH⊥面PDM，且PM⊆面PDM，∴AH⊥PM
又∵HO⊥PM，∴PM⊥面AOH，且AO⊆面AOH，
∴PM⊥AO
∴∠AOH为所求二面角的平面角，
∵AO=

4 5

5

，∴sin∠AOH=

AH

AO

=

10

4

，即∠AOH=arcsin

10

4

，
故平面PDE与平面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大小arcsin

10

4

．

点评：本题主要考查点到面的距离，线面平行的证明及异面直线所成的角和二面角大小的求法，有一定的难度．