Question

在等腰直角三角形ABC中，CA=CB=3，平面内一点M满足

BM

=λ

AM

（λ≥2，λ∈R），则

CM

•

CA

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：先根据向量数量积的几何意义，将

CM

•

CA

表示为|

CA

|乘以向量

CM

在

CA

方向上的射影，只需射影最大即可，由λ≥2知，当λ=2时，|

AM

|最大，则

CM

•

CA

最大，再设法求出射影|

CM

|cos∠MCA，即可得

CM

•

CA

的最大值．

解答： 解：∵CA=3，∴

CM

•

CA

=|

CA

|•(|

CM

|cos∠MCA)
=3(|

CM

|cos∠MCA)，
其中|

CM

|cos∠MCA为向量

CM

在

CA

方向上的射影．
如右图所示，当|

AM

|越大，射影|

CM

|cos∠MCA也越大，
由λ≥2知，当M往左移到最远处，即λ=2时，|

AM

|最大，则

CM

•

CA

最大，
此时点A为线段BM的中点．
过点M作MD⊥CA交CA的延长线于点D，则
由

AM=BA ∠MDA=90°=∠BCA ∠MAD=∠BAC

，知△MDA≌△BCA，
∴AD=CA，
∴

CM

•

CA

的最大值=3|

CD

|=3×2|

CA

|=6×3=18．
故答案为18．

点评：本题考查了向量数量积的几何意义，向量加法及数乘的含义，关键是充分利用图形的几何特征，如线段与线段的长度关系，夹角，点的位置变化等，必要时可添加适当的辅助线．