Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=

2

．
（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD．
（2）求PD与平面PAB所成角正切值．
（3）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：

分析：（1）取AB中点E，连PE、CE，证明PE⊥平面ABCD，即可证明平面PAB⊥平面ABCD
（2）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．求出PD与平面PAB所成角的正弦值，即可求PD与平面PAB所成角正切值．
（3）建立如图所示的空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．

解答： （1）证明：如图所示，取AB中点E，连PE、CE．
则PE是等腰△PAB的底边上的中线，∴PE⊥AB．
∵PE=1，CE=

3

，PC=2，即PE²+CE²=PC²．
由勾股定理的逆定理可得，PE⊥CE．
又∵AB?平面ABCD，CE?平面ABCD，且AB∩CE=E，
∴PE⊥平面ABCD．
而PE?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（2）解：以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（0，-1，0），C（

3

，0，0），D（

3

，-2，0），P（0，0，1），

PD

=（

3

，-2，-1），

EC

=（

3

，0，0），
∴PD与平面PAB所成角的正弦值为

3

3+4+1 • 3

=

6

4

，
∴PD与平面PAB所成角正切值为

15

5

．
（3）∵

AC

=(

3

，1，0)，

PC

=(

3

，0，-1)，

DC

=(0，2，0)，
设

n

=（x，y，z）是平面PAC的一个法向量，
则

n • AC = 3 x+y=0 n • PC = 3 x-z=0

，
取x=1，可得y=-

3

，z=

3

，即

n

=（1，-

3

，

3

）
设

m

=（x，y，z）是平面PCD的一个法向量，
则

n • DC =2y=0 n • PC = 3 x-z=0

，
取x=1，可得y=0，z=

3

．            
故

m

=（1，0，

3

），
故cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2 7

7

，
即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是

2 7

7

．

点评：熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、面面垂直、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的方法等是解题的关键．