Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=60°，E、F分别是PB，CD的中点．
（Ⅰ）证明：PB⊥面AEF
（Ⅱ）求二面角A-PE-F的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）由等腰三角形性质得PB⊥AE，由线面垂直得AF⊥PB，由此能证明PB⊥平面 AEF．
（II）由已知条件得∠AEF是二面角A-PE-F的平面角，由此能求出二面角A-PE-F的大小．

解答： 解：（I）证明：∵PA=AB，E是PB的中点，∴PB⊥AE，
∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD是等边三角形，（1分）
∵F是CD的中点，∴AF⊥CD，
∵AB∥CD，∴AF⊥AB，（2分）
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AF，
AF∩PA=A，∴AF⊥面PAB，（3分）
PB?面PAB，∴AF⊥PB，（4分）
∵AE∩PA=A，∴PB⊥平面 AEF．（5分）
（II）由（I）知，∠AEF是二面角A-PE-F的平面角，（7分）
设AB=a，则AE=

2

2

a，AF=

3

2

a，（9分）
在Rt△AEF中，tan∠AEF=

6

2

，
二面角A-PE-F的大小为arctan

6

2

．（10分）

点评：本题考查直线与平面的垂直，考查二面角的在小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．