Question

如图，在三棱锥C-ABD中，AC⊥CB，AC=CB，E为AB的中点，AD=DE=EC=2，CD=2

2

．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直线BD与平面CAD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出CE⊥DE，CE⊥AB，由此能证明CE⊥平面ABD，从而得到平面ABC⊥平面ABD．
（Ⅱ）以E点为坐标原点，建立直角坐标系，利用向量法能求出直线DB与平面ADE所成角的正弦值．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：在△CDE中，CD=2

2

， DE=EC=2，
∴DE2+EC2=22+22=8， CD2=(2

2

)2=8，
∴CD²=DE²+EC²，
则△CDE为直角三角形，
所以，CE⊥DE．
又由已知AC⊥BC，AC=BC，
且E是AB的中点，得CE⊥AB．
又AB∩DE=E，∴CE⊥平面ABD
又CE?面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD．（6分）
（Ⅱ）解：以E点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
则C（0，0，2），B（0，2，0），A(0，-2，0)，D(

3

， -1，0)，

DB

=(-

3

， 3，0)， 

AC

=(0，2，2)， 

DC

=(-

3

，1，2)．
设平面ACD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则有

n • DC =0 n • AC =0

，即

- 3 x+y+2z=0 2y+2z=0

，
解得：z=

3

x，  y=-z，
所以，平面ACD的一个法向量为

n

=(1，-

3

，

3

)，
cos＜

n

•

DB

＞=

DB • n

| DB |•| n |

=

- 3 -3 3

12 • 7

=-

2 7

7

，
故直线DB与平面ADE所成角的正弦值为

2 7

7

．（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．