Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1离心率是

2

，过点（

3

，1），且右支上的弦AB过右焦点F．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求弦AB的中点M的轨迹E的方程；
（3）是否存在以AB为直径的圆过原点O？，若存在，求出直线AB的斜率k的值．若不存在，则说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得

c a = 2 3 a2 - 1 b2 =1 c2=a2+b2

，由此能求出双曲线C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），利用点差法能示出弦AB的中点M的轨迹E的方程．
（3）假设存在以AB为直径的圆过原点O，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB：y=k（x-2），由

x2-y2=2 y=k(x-2)

，得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0，由x₁x₂+y₁y₂=0，得k²+1=0无解，故这样的圆不存在．

解答： 解：（1）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1离心率是

2

，过点（

3

，1），
∴

c a = 2 3 a2 - 1 b2 =1 c2=a2+b2

，解得a=

2

，b=

2

，c=2，
∴双曲线C的方程x²-y²=2．
（2）∵右支上的弦AB过右焦点F（2，0），
∴设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
∵弦AB的中点M，∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A，B分别代入双曲线C，得

x12-y12=2 x22-y22=2

，
两式相减，得2x（x₁-x₂）-2y（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=

x

y

，x≥2，
又∵直线AB过F（2，0），M（x，y），
∴k=

y

x-2

，∴

y

x-2

=

x

y

，
整理，得弦AB的中点M的轨迹E的方程：x²-2x-y²=0，x≥2．
（3）假设存在以AB为直径的圆过原点O，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB：y=k（x-2），
由

x2-y2=2 y=k(x-2)

，得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0，
△＞0，x1+x2=

4k2

k2-1

，x1x2=

4k2+2

k2-1

，k²≠1，①
∵以AB为直径的圆过原点O，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=0，②
联立①②，得k²+1=0无解，
∴这样的圆不存在．

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．