Question

已知抛物线C的一个焦点为F（

1

2

，0），准线方程为x=-

1

2

．
（1）写出抛物线C的方程；
（2）（此小题仅理科做）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；
（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）²+y²=2的切线，切点分别是M，N．当P点在何处时，|MN|的值最小？并求出|MN|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知抛物线方程为：y²=2x．
（2）当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k（x-

1

2

），代入y²=2x，得k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，k≠0，设△AOB的重心为OG（x，y），由韦达定理得y2=

2

3

x-

2

9

．当直线垂直于x轴时，△AOB的重心G（

1

3

，0）也满足上述方程，由此能求出△AOB重心G的轨迹方程．
（3）已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=

2

，当|PQ|²最小时，|MN|取最小值，由此能求出当P点坐标为P（2，±2）时，|MN|取最小值

2 30

5

．

解答： 解：（1）∵抛物线C的一个焦点为F（

1

2

，0），准线方程为x=-

1

2

，
∴抛物线方程为：y²=2x．
（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k（x-

1

2

），
代入y²=2x，得k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，k≠0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

k2+2

k2

，y1+y2=k(x1+x2-1)=

2

k

，
设△AOB的重心为OG（x，y），
则

x= 0+x1+x2 3 = k2+2 3k2 y= 0+y1+y2 3 = 2 3k

，
消去y，得y2=

2

3

x-

2

9

．
②当直线垂直于x轴时，A（

1

2

，1），B（

1

2

，-1），
△AOB的重心G（

1

3

，0）也满足上述方程．
综合①②，得所求的轨迹方程为y2=

2

3

x-

2

9

．
（3）已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=

2

，
根据圆的性质有：|MN|=2•

|MP||MQ|

|PQ|

=2r

|PQ|2-r2 |PQ|2

=2

2

•

1- 2 |PQ|2

，
当|PQ|²最小时，|MN|取最小值．
设P（x₀，y₀），则y02=2x0，
|PQ|²=（x₀-3）²+y02=x02-4x0+9=（x₀-2）²+5，
∴当x₀=2，y₀=±2时，|PQ|²取最小值5，
故当P点坐标为P（2，±2）时，|MN|取最小值

2 30

5

．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，考查线段长最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．