Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=AB=AD=2BC=2，∠BAD=θ，E是棱PD的中点．
（Ⅰ）若θ=60°，求证：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求θ的值，使二面角P-CD-A的平面角最小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导CD⊥AD，PA⊥CD．从而得到CD⊥AE．由此能证明AE⊥平面PCD．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出要使α最小，则cosα最大，由此能求出结果．

解答： （Ⅰ）证明：当θ=60°时，
∵AD∥BC，AB=AD=2BC=2．
∴CD⊥AD．
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∴CD⊥平面PAD．
又AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
又PA=AD，E是棱PD的中点，
∴PD⊥AE．
∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD．（7分）
（Ⅱ）解：如图，建立空间直角坐标系A-xyz，
则P（0，0，2），B（2sinθ，2cosθ，0），
C（2sinθ，2cosθ+1，0），D（0，2，0）．
∴

DP

=(0，-2，2)、

DC

=(2sinθ，2cosθ-1，0)．
设平面PCD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n ⊥ DP n ⊥ DC

⇒

-2y+2z=0 (2sinθ)x+(2cosθ-1)y=0

，
取y=1，得

n

=(

2cosθ-1

2sinθ

，1，1)．
又平面ABCD的法向量为

m

=(0，0，1)．
设二面角P-CD-A的平面角为α，
则cosα=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

( 2cosθ-1 2sinθ )2+2

，
要使α最小，则cosα最大，即

2cosθ-1

2sinθ

=0，
∴cosθ=

1

2

，得θ=

π

3

．（8分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查使二面角最小的角θ的值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．