Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA₁=2，M，N分别是棱CC₁，AB中点．
（1）求证：CN∥平面AMB₁．
（2）求C到平面AMB₁上的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AB₁的中点G，连结MG，NG，由已知条件推导出四边形CNGM是平行四边形．由此得到CN∥平面AMB₁．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出C到平面AMB₁的距离．

解答： （1）证明取AB₁的中点G，连结MG，NG，
∵N，G分别是棱AB，AB₁中点，
∴NG∥BB₁，NG=

1

2

BB1，
又∵CM∥BB₁，CM=

1

2

BB1，
∴CM∥NG，CM=NG．
∴四边形CNGM是平行四边形．
∴CN∥MG，
∵CN不包含于平面AMB₁，GM?平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁．
（2）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知C（0，0，0），A（1，0，0），
M（0，0，1），B（0，1，2），

AC

=（-1，0，0），

AM

=(-1，0，1)，

AB

=（-1，1，2），
设平面ABM的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • AM =-x+z=0 m • AB =-x+y+2z=0

，取x=1，得

m

=（1，-1，1）
∴C到平面AMB₁的距离d=

| AC • m |

| m |

=

|-1|

3

=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．