Question

直线y=2x+2上的动点（a_n，a_n+1），n∈N^*与定点（2，-3）所成直线的斜率为b_n，且a₁=3，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：2＜b_n+1＜b_n≤11；
（3）证明：

1

b1-2

+

1

b2-2

+

1

b3-2

+…

1

bn-2

＜2ⁿ．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得a_n+1=2a_n+2，从而推导出

an+1+2

an+2

=2，又a₁+2=3+2=5，由此求出an=5•2n-1-2．
（2）由已知条件得b_n=

an+1+3

an-2

=

5•2n+1

5•2n-1-4

=2×

5•2n-8+9

5•2n-8

=2+

18

5•2n-8

＞2．由此能证明2＜b_n+1＜b_n≤11．
（3）由

1

bn-2

=

5•2n-8

18

=

5

18

•2n-

4

9

，能证明

1

b1-2

+

1

b2-2

+

1

b3-2

+…

1

bn-2

＜2ⁿ．

解答： （1）解：∵直线y=2x+2上的动点（a_n，a_n+1），n∈N^*，
∴a_n+1=2a_n+2，n∈N^*，∴a_n+1+2=2（a_n+2），
∴

an+1+2

an+2

=2，又a₁+2=3+2=5，
∴{a_n+2}是首项为5，公比为2的等比数列，
∴an+2=5•2n-1，
∴an=5•2n-1-2．
（2）证明：∵动点（a_n，a_n+1），n∈N^*与定点（2，-3）所成直线的斜率为b_n，
∴b_n=

an+1+3

an-2

=

5•2n+1

5•2n-1-4

=2×

5•2n-8+9

5•2n-8

=2+

18

5•2n-8

＞2．
∴{b_n}是减数列，且b_n＞2，（b_n）_max=b₁=2+

18

5×2-8

=11，
∴2＜b_n+1＜b_n≤11．
（3）证明：∵

1

bn-2

=

5•2n-8

18

=

5

18

•2n-

4

9

，
∴

1

b1-2

+

1

b2-2

+

1

b3-2

+…

1

bn-2

=

5

18

(2+22+…+2n)-

4

9

n
=

5

18

×

2(1-2n)

1-2

-

4

9

n
=

5

9

×2n-

5

9

-

4

9

n＜2ⁿ．
∴

1

b1-2

+

1

b2-2

+

1

b3-2

+…

1

bn-2

＜2ⁿ．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意分离变量法的合理运用．