Question

若函数y=

f(x)

x

在（m，+∞）上为增函数（m为常数），则称f（x）为区间（m，+∞）上的“一阶比增函数”．
已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，且xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（1）求证：f（x）为区间（0，+∞）上的“一阶比增函数”；
（2）当x₁＞0，x₂＞0时，证明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（3）已知不等式ln（l+x）＜x在x＞-1且x≠0时恒成立，证明：

1

22

ln2+

1

33

ln4+…+

1

(n+1)2

ln（n+1）＞

n

4(n+1)(n+2)

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由“一阶比增函数”的意义知只需说明y=

f(x)

x

在（0，+∞）上是单调增函数．求导可得结论；
（2）由（1）知y=

f(x)

x

在（0，+∞）上是单调增函数．当x₁＞0，x₂＞0时，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x2)

x2

．变形后两式相加可得结论；
（3）由（2）知，n≥2时，可得f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…+x_n）（n≥2）恒成立．构造f（x）=xlnx，知xf′（x）-f（x）=x（lnx+1）-xlnx=x＞0符合条件，则当x_i＞0（i=1，2，3，…，n）时，有x₁lnx₁+x₂lnx₂+…+x_nlnx_n＜（x₁+x₂+x₃+…+x_n）ln（x₁+x₂+x₃+…+x_n）（n≥2）（*）恒成立．令xn=

1

(n+1)2

，记S_n=x₁+x₂+…+x_n=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

，
利用放缩法可得

1

2

-

1

n+2

＜Sn＜1-

1

n+1

，则（x₁+x₂+x₃+…+x_n）ln（x₁+x₂+x₃+…+x_n）＜（x₁+x₂+x₃+…+x_n）ln（1-

1

n+1

）＜-

1

n+1

（x₁+x₂+x₃+…+x_n）（∵ln（1+x）＜x），＜-

1

n+1

（

1

2

-

1

n+2

）=-

n

2(n+1)(n+2)

（**），再由（**）及（*）可得结论．

解答： 证明：（1）由y=

f(x)

x

，对y求导知y′=

f′(x)•x-f(x)

x2

，
由xf′（x）＞f（x）可知：y′＞0在（0，+∞）上恒成立．
从而y=

f(x)

x

在（0，+∞）上是单调增函数．
∴f（x）为区间（0，+∞）上的“一阶比增函数”．
（2）由（1）知y=

f(x)

x

在（0，+∞）上是单调增函数．
当x₁＞0，x₂＞0时，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x2)

x2

．
于是f（x₁）＜

x1

x1+x2

f（x₁+x₂），f（x₂）＜

x2

x1+x2

f(x1+x2)，
两式相加得到：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．
（3）由（2）可知：y=

f(x)

x

在（0，+∞）上是单调递增函数，
f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）（x₁，＞0，x₂＞0）恒成立，
则当n≥2时，f（x₁+x₂+x₃+…+x_n）=f[x₁+（x₂+x₃+…+x_n）]＞f（x₁）+f（x₂+x₃+…+x_n）
=f（x₁）+f[x₂+（x₃+…+x_n）]＞f（x₁）+f（x₂）+f（x₃+…+x_n）
=…＞f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）恒成立．即f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…+x_n）（n≥2）恒成立．
构造f（x）=xlnx，知xf′（x）-f（x）=x（lnx+1）-xlnx=x＞0符合条件，
则当x_i＞0（i=1，2，3，…，n）时，
有x₁lnx₁+x₂lnx₂+…+x_nlnx_n＜（x₁+x₂+x₃+…+x_n）ln（x₁+x₂+x₃+…+x_n）（n≥2）（*）恒成立．
令xn=

1

(n+1)2

，记S_n=x₁+x₂+…+x_n=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

，
则Sn＜

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
Sn＞

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

(n+1)(n+2)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，
∴（x₁+x₂+x₃+…+x_n）ln（x₁+x₂+x₃+…+x_n）＜（x₁+x₂+x₃+…+x_n）ln（1-

1

n+1

）
＜-

1

n+1

（x₁+x₂+x₃+…+x_n）（∵ln（1+x）＜x），
＜-

1

n+1

（

1

2

-

1

n+2

）=-

n

2(n+1)(n+2)

（**），
由（**）及（*）可知：

1

22

ln

1

22

+

1

32

ln

1

32

+…+

1

(n+1)2

ln

1

(n+1)2

＜-

n

2(n+1)(n+2)

，
于是

1

22

ln22+

1

32

ln32+

1

42

ln42+…+

1

(n+1)2

ln(n+1)2＞

n

2(n+1)(n+2)

，

1

22

ln2+

1

32

ln3+…+

1

(n+1)2

ln(n+1)＞

n

4(n+1)(n+2)

(n∈N*)

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、最值及不等式的证明，考查学生的推理论证能力、运算求解能力，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，该题综合性强，运算量大，能力要求高．