Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）．
（Ⅰ）（i）若b=-2，且f（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
（ii）若b=-1，c=1，当x∈[0，1]时，|f（x）|的最大值为1，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有两个小于1的不等正根，求a的最小正整数值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）（i）若b=-2，f（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，则

1

a

≤1，解得实数a的取值范围；
（ii）若b=-1，c=1，当x∈[0，1]时，|f（x）|的最大值为1，则

1 2a ＞1 f(1)=a≤1

或

0＜ 1 2a ≤1 f(1)=a≤1 f( 1 2a )≥-1

，解得实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有两个小于1的不等正根，则

a＞0 c≥1 a+b+c≥1 b2-4ac＞0 0＜- b a ＜2 0＜ c a ＜1

，解得实数a的取值范围；

解答： 解：（Ⅰ）（i）若b=-2，
则f（x）=ax²-2x+c（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=

1

a

为对称轴的抛物线．
若f（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，
则

1

a

≤1，
解得a≥1，
即实数a的取值范围为[1，+∞）
（ii）若b=-1，c=1，
则f（x）=ax²-x+1（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=

1

2a

为对称轴的抛物线．
若当x∈[0，1]时，|f（x）|的最大值为1，
则

1 2a ＞1 f(1)=a≤1

或

0＜ 1 2a ≤1 f(1)=a≤1 f( 1 2a )≥-1

，
解得0＜a＜

1

2

，或

1

2

≤a≤1
综上所述：0＜a≤1
即实数a的取值范围为（0，1]
（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有两个小于1的不等正根，
则

a＞0 c≥1 a+b+c≥1 b2-4ac＞0 0＜- b a ＜2 0＜ c a ＜1

由b²＞4ac＞4a（1-a-b）得：
b²+4ab+4a²=（b+2a）²＞4a，
即b+2a＞2

a

，
即b＞2

a

-2a，…①
由b²＞4ac≥4a得：
b＜-2

a

…②
由①②得：
2

a

-2a＜-2

a

，
解得a＞4，
故a的最小正整数值为5．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的单调性，函数的最值，难度中档．