Question

某企业主要生产甲、乙两种品牌的空调，由于受到空调在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每台空调的利润与该空调首次出现故障的时间有关，甲、乙两种品牌空调的保修期均为3年，现从该厂已售出的两种品牌空调中各随机抽取50台，统计数据如下：

品牌	甲				乙
首次出现故障时间 x年	0＜x≤1	1＜x≤2	2＜x≤3	x＞3	0＜x≤2	2＜x≤3	x＞3
空调数量（台）	1	2	4	43	2	3	45
每台利润（千元）	1	2	2.5	2.7	1.5	2.6	2.8

将频率视为概率，解答下列问题：
（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌空调中随机抽取一台，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（Ⅱ）若该厂生产的空调均能售出，记生产一台甲品牌空调的利润为X₁，生产一台乙品牌空调的利润为X₂，分别求X₁，X₂的分布列；
（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌空调销量相当，但由于资金限制，只能生产其中一种品牌空调，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的空调？说明理由．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用古典概型概率计算公式能求出甲品牌空调首次出现故障发生在保修期内的概率．
（Ⅱ）依题意X₁=1，2，2.5，2.7，分别求出相应的概率，能求出X₁的分布列；X₂=1.5，2.6，2.8，分别求出相应的概率，能求出X₂的分布列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）分别求出X₁，X₂的数学期，由E（X₁）＜E（X₂），知应生产乙品牌空调．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设“甲品牌空调首次出现故障发生在保修期内”为事件A，
则P(A)=

1+2+4

50

=

7

50

．（4分）
（Ⅱ）依题意X₁=1，2，2.5，2.7，
X₁的分布列如下：

X1	1	2	2.5	2.7
P	1 50	1 25	2 25	43 50

（7分）
依题意X₂=1.5，2.6，2.8，
X₂的分布列如下：

X2	1.5	2.6	2.8
P	1 25	3 50	9 10

（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得E(X1)=1×

1

50

+2×

1

25

+2.5×

2

25

+2.7×

43

50

=2.622（千元）；（11分）E(X2)=1.5×

1

25

+2.6×

3

50

+2.8×

9

10

=2.736（千元）．（12分）
所以E（X₁）＜E（X₂），
故应生产乙品牌空调．（13分）

点评：本题考查概率的求法，二查离散型随要变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．