Question

如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB．
（Ⅰ）求直线EC与平面ABE所成角的正切值；
（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？存在请确定具体位置，不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）根据线面所成角的定义，即可求直线EC与平面ABE所成角的正切值；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法结合EC∥平面FBD，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABE，且交线AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ABE，
则∠CEB是直线EC与平面ABE所成角，
∵在等腰三角形ABE中，AB=2，
∴EB=EA=

2

，
在直角三角形CBE中，tan∠CEB=

BC

BE

=

1

2

=

2

2

，
∴直线EC与平面ABE所成角的正切值为

2

2

．
（Ⅱ）设O为AB的中点，连接OD，OE，则OE⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABE，
∴OE⊥平面ABE，OE⊥OD，
在直角梯形ABCD，由CD=OB，CD∥OB，可得OD⊥AB，
由OB，OD，OE两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz，
假设线段EA上存在点F，使EC∥平面FBD，
设

n

=（x，y，z）是平面PBD的一个法向量，则必需使

EC

⊥

n

．
∵E（0，0，1），C（1，-1，0），B（0，-1，0），D（1，0，0）
则

EC

=(1，-1，-1)，

BD

=(1，1，0)，
设F（0，a，1-a）

DF

=(-1，a，1-a)，
∴

n • DF =0 n • BD =0

，得

-x+ya+z(1-a)=0 x+y=0

令x=1，则

n

=(1，-1，

1+a

1-a

)．
要使

EC

⊥

n

，则有1+1+

1+a

1-a

=0，∴a=

1

3

．
此时F(0，

1

3

，

2

3

)，

EF

=(0，

1

3

，-

1

3

)，

EA

=(0，1，-1)，
∴

EF

=

1

3

EA

则线段EA上存在点F，且是靠近点E的一个三等分点．

点评：本题主要考查直线和平面所成角的计算，以及线面平行的判断，建立空间坐标系是解决本题的关键．