Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点到椭圆右焦点F的最大距离为

3

+1，离心率e=

3

3

，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有

OP

=

OA

+

OB

成立？若存在，求出所有点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由条件知

a+c= 3 +1 c a = 3 3

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有

OP

=

OA

+

OB

成立．由 （Ⅰ）知C的方程为2x²+3y²=6．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当l垂直于x轴时，C上不存在点P使

OP

=

OA

+

OB

立．当l不垂直x轴时，设l的方程为y=k（x-1），将y=k（x-1）代入2x²+3y²=6，得：（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0，由此能求出C上存在点P（

3

2

，±

2

2

），使

OP

=

OA

+

OB

成立，此时l的方程为

2

x±y-

2

=0．

解答： 解：（I）由条件知

a+c= 3 +1 c a = 3 3

，
解得

a= 3 c=1

，
所以b²=a²-c²=2，
故椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有

OP

=

OA

+

OB

成立．
由 （Ⅰ）知C的方程为2x²+3y²=6．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（ⅰ） 当l垂直于x轴时，由

OA

+

OB

=（2，0）知，
C上不存在点P使

OP

=

OA

+

OB

成立．                                               …（5分）
（ⅱ）当l不垂直x轴时，设l的方程为y=k（x-1），
将y=k（x-1）代入2x²+3y²=6，并化简，得：
（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0，
于是x1+x2=

6k2

2+3k2

，x1x2=

3k2-6

2+3k2

，
C 上的点P使

OP

=

OA

+

OB

成立的充要条件是P点坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂），
设P（x₀，y₀），则

x0=x1+x2 y0=y1+y2

，…（7分）
所以x0=

6k2

2+3k2

，y₀=

-4k

2+3k2

．因为P在椭圆上，
将x₀，y₀代入椭圆方程，得：3k⁴-4k²-4=0，
所以k²=2，k=±

2

，
当k=-

2

时，P（

3

2

，

2

2

），l的方程为

2

x+y-

2

=0．
当k=

2

时，P（

3

2

，-

2

2

），l的方程

2

x-y-

2

=0．…（9分）
综上，C上存在点P（

3

2

，±

2

2

），使

OP

=

OA

+

OB

成立，
此时l的方程为

2

x±y-

2

=0．…（10分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标和直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．