Question

已知函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1），f（4）的值． 
（2）如果f（x）-f（x-3）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1，可求出f（1），令x=y=2，结合条件，可求出f（4）；
（2）将2换成f（4），结合条件得到f（x）＜f（4x-12），再由单调性，即可求出x的取值范围，注意定义域．

解答： 解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），∴令x=y=1，则f（1）=2f（1），即f（1）=0，
令x=y=2，则f（4）=2f（2）=2．
（2）f（x）-f（x-3）＜2即f（x）＜f（x-3）+2，
即f（x）＜f（x-3）+f（4），即f（x）＜f（4x-12），
∵函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，
∴

x＞0 x-3＞0 x＜4x-12

即

x＞0 x＞3 x＞4

∴x＞4，
故x的取值范围是（4，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数值的常用方法：赋值法，属于基础题．