Question

某发射装置上有一个特殊的按键，在发射装置的屏幕上显示正整数n时按下这个键，会等可能的将其替换为0～n-1中的任意一个数，反复按这个键使得最终显示0，我们把这一操作称为“还原”操作．
（Ⅰ）设初始值为15，求在“还原”操作中出现9的概率；
（Ⅱ）当初始值为4时，进行“还原”操作，记操作次数为ξ，求ξ的概率分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意知对于数字n，对于任意一个不小于n+1的数，直接选择n的概率为

1

n+1

，直接选择n-1的概率为

1

n+1

，…，直接选择0的概率为

1

n+1

，而最后都选择了0，即概率和为1，所以数字n的出现概率即

1

n+1

．由此能求出在“还原”操作中出现9的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ=1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知：0出现的概率是1；
1出现的概率是

1

2

，因为对于任意不小于2的数，
直接选择1和选择0的概率是相同的，而选择了1就必然选择0，
所以选1再选零和直接选0概率相同；
对于数字n，对于任意一个不小于n+1的数，直接选择n的概率为

1

n+1

，
直接选择n-1的概率为

1

n+1

，…，直接选择0的概率为

1

n+1

，
而最后都选择了0，即概率和为1，所以数字n的出现概率即

1

n+1

．
∴在“还原”操作中出现9的概率p=

1

10

．
（Ⅱ）由题意知ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）=

1

4

，P（ξ=2）=

3

4

×

1

3

=

1

4

，P（ξ=3）=

3

4

×

2

3

×

1

2

=

1

4

，
P（ξ=4）=

3

4

×

2

3

×

1

2

×1=

1

4

，
∴ξ的概率分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	1 4	1 4	1 4	1 4

Eξ=（1+2+3+4）×

1

4

=

5

2

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．