Question

已知一次函数f（x）=kx-2满足f（2）-f（0）=6．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+f（

1

x

）的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由已知，得（2k-2）-（-2）=6，求出k值，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+f（

1

x

）的解析式，分x＞0和x＜0两种情况结合基本不等式求出函数值的取值范围，综合讨论结果可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得（2k-2）-（-2）=6，（3分）
解得k=3．
所以函数f（x）的解析式为f（x）=3x-2．（6分）
（Ⅱ）g(x)=f(x)+f(

1

x

)=3x-2+

3

x

-2=3x+

3

x

-4•x≠0．
当x＞0时，3x+

3

x

≥6，
当且仅当3x=

3

x

，即x=1时等号成立，（8分）
所以g（x）≥2．（10分）
当x＜0时，因为-3x+(-

3

x

)≥6，
所以3x+

3

x

≤-6，
当且仅当3x=

3

x

，即x=-1时等号成立，（11分）
所以g（x）≤-10．（12分）
所以，函数g（x）的值域为（-∞，-10]∪[2，+∞）．（13分）

点评：本题考查的知识点是函数的值域，函数的解析式，基本不等式的应用，是函数，方程，不等式的综合应用，难度中档．