Question

某同学将一块底边长为5的等腰直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系上，其中∠OMN=

π

2

，函数f（x）=Asin（ωx），（A＞0，ω＞0），
（1）若函数f（x）在同一周期内的图象过点O，M，N，求函数f（x）的解析式；
（2）若将该三角板绕原点按逆时针方向旋转角α(0＜α＜

π

2

)时；顶点M′，N′恰好同时落在曲线y=

k

x

（x≠0）上，求实数k的值；
（3）若当x∈[0，π]时，函数f（x）的图象恰好都落在△OMN内（允许落在△OMN的边界上），求当么取最大值时，函数g（x）=cos（ωx+A）在区间[0，π]上的最值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,函数的性质及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意知

T

2

=

π

ω

=π，可求ω，A为点M到边ON的距离；
（2）三角板逆时针旋转后，顶点M′（

2 π

2

cos(α+45°)，

2 π

2

sin(α+45°)），N′（πcosα，πsinα），代入曲线y=

k

x

可解k；
（3）可知线段OM始终不位于y=f（x）图象的下方，设函数f（x）在点O处的切线为l，由导数的几何意义及点斜式可得l的方程，于是有x≥Ax在区间[0，

π

2

]上恒成立，可求A的最大值，进而得g（x），由三角函数的性质可求g（x）的最值；

解答： 解：（1）依题意可知

T

2

=

π

ω

=π，ω=1，
又最大值A为点M到边ON的距离，且△OMN为等腰直角三角形，
∴A=

π

2

，
∴f（x）=

π

2

sinx．
（2）将该三角板绕原点按逆时针方向旋转角α(0＜α＜

π

2

)时，顶点M′（

2 π

2

cos(α+45°)，

2 π

2

sin(α+45°)），N′（πcosα，πsinα），
 代入y=

k

x

，得

2 π 2 sin(α+45°)= k 2 π 2 cos(α+45°) πsinα= k πcosα

，
解得k=

5 π

10

．
（3）可知线段OM始终不位于y=f（x）图象的下方，
设函数f（x）在点O处的切线为l，
∵f′（x）=Acosx，∴直线l的斜率为f′（0）=A，故l：y=Ax，
∵x≥Ax在区间[0，

π

2

]上恒成立，∴A的最大值为1，此时g（x）=cos（x+1），
∵x∈[0，π]，∴x+1∈[1，π+1]，
故当x+1=1，即x=0时，函数g（x）有最大值为g（0）=cos1，；
当x+1=π，即x=π-1时，函数g（x）有最小值为g（π-1）=-1．

点评：该题考查三角函数的图象和性质、曲线与方程、函数恒成立等知识，考查数形结合思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力．