Question

已知函数f（x）=

x2+2x，x＜0 lnx，x＞0

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x≥1时，证明：曲线f（x）与g（x）=x-1仅有一个公共点；
（Ⅲ）设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂＜0）为曲线f（x）上的两点，且曲线f（x）在点A，B处的切线互相垂直，求x₂-x₁的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据二次函数和对数函数的性质即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）构造函数h（x）=g（x）-f（x），求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的故选即可证明曲线f（x）与g（x）=x-1仅有一个公共点；
（Ⅲ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）当x＞0时，f（x）=lnx，为增函数，
当x＜0时，f（x）=x²+2x=（x+1）²-1，当x＜-1时，函数f（x）单调递减，当-1＜x＜0时，函数f（x）单调递增，
综上函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），单调递增区间为[-1，0），（0，+∞）．
（Ⅱ）因为x≥1，所以f（x）=lnx，令h（x）=g（x）-f（x）=x-1-lnx，
h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，所以h（x）=g（x）-f（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以h（x）_min=h（1）=1-1-ln1=0，所以g（x）≥f（x），
“=”当且仅当x=1时成立，即函数f（x）与g（x）=x-1仅有一个公共点（1，0）．
（Ⅲ）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f'（x₁），点B处的切线斜率为f'（x₂），
故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f'（x₁）•f'（x₂）=-1．
当x＜0时，对函数f（x）求导，得f'（x）=2x+2．
因为x₁＜x₂＜0，
所以（2x₁+2）（2x₂+2）=-1，
所以2x₁+2＜0，2x₂+2＞0．因此x2-x1=

1

2

[-(2x1+2)+(2x2+2)≥

[-(2x1+2)](2x2+2)

=1，
当且仅当-（2x₁+2）=2x₂+2=1，即x1=-

3

2

且x2=-

1

2

时等号成立．
所以，函数f（x）的图象在点A、B处的切线互相垂直时，x₂-x₁的最小值为1．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数的几何意义以及导数和函数单调性之间的关系．