Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．
（1）求三棱锥D-BAC的体积；
（2）求证：AF∥平面BCE；
（3）求二面角B-CD-A的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件得S△ACD=

3

4

×4=

3

，由线面垂直得BA是三棱锥B-ACD的高，且BA=1，由此能求出三棱锥D-BAC的体积．
（2）取CE的中点为H，连接BH，FH，由已知条件推导出四边形BHFA是平行四边形，由此能证明AF∥平面BCE．
（3）连接BD，由已知条件推导出∠BFA就是二面角B-CD-A的平面角，由此能求出二面角B-CD-A的大小．

解答： （本小题满分14分）
（1）解：∵△ACD为等边三角形，且边长为2，
∴S△ACD=

3

4

×4=

3

…（1分）
∵AB⊥平面ACD，∴BA是三棱锥B-ACD的高，且BA=1，
∴VB-ACD=

1

3

×

3

×1=

1

3

3

，…（3分）
∴VD-ACB=VB-ACD=

1

3

3

．
∴三棱锥D-BAC的体积为

1

3

3

．…（4分）
（2）证明：取CE的中点为H，连接BH，FH，
∵F为CD的中点，∴FH∥ED且FH=

1

2

ED…（5分）
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=

1

2

ED，
∴FH∥AB，且FH=AB…（6分）
∴四边形BHFA是平行四边形，即BH∥FA…（7分）
∵BH?平面BCE，FA?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．…（8分）
（3）连接BD，在等边三角形△ACD中，F为CD的中点，∴AF⊥CD，…（9分）
∵AB⊥平面ACD，∴∠BAD=90°∵AD=2，BA=1，
由勾股定理得BD=

5

．
同理可得BC=

5

，∴BC=BD，∵F为CD的中点，∴BF⊥CD…（11分）
∴∠BFA就是二面角B-CD-A的平面角…（12分）
则tan∠BFA=

BA

AF

=

1

3

=

3

3

，…（13分）
∴二面角B-CD-A的大小为

π

6

．…（14分）

点评：本题考查三棱锥体积的求法，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．